The top 10 mathematical achievements of the last 5ish years, maybe

Just another top ten list.

Simple City

I have recently been going through my book Maths 1001 making updates for a forthcoming foreign edition (of which more in future). So I have been looking over mathematical developments since approximately 2009. Thus, I present ten major developments in the subject since around then, arranged arbitrarily in ascending order of top-ness.

"Socolar-Taylor tile" by Parcly Taxel - Own work. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Socolar-Taylor_tile.svg#/media/File:Socolar-Taylor_tile.svg “Socolar-Taylor tile” by Parcly Taxel – Own work. Licensed under CC BY-SA 4.0 via Wikimedia Commons – https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Socolar-Taylor_tile.svg#/media/File:Socolar-Taylor_tile.svg

10. Mochizuki’s claimed proof of the abc conjecture.   The countdown kicks off on an awkward note. If Shinichi Mochizuki’s 2012 claimed proof of the abc conjecture had gained widespread acceptance, it would definitely top this list. As it is, it remains in limbo, to the enormous frustration of everyone involved.

9. The weak Goldbach conjecture. “From 7 onwards, every odd number is the sum of three primes.” We have known since 1937 that this holds for all large enough…

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Infinite series: not quite as weird as some would say

Skulls in the Stars

Updated with a third footnote clarifying my use of the term “diverge,” thanks to suggestion by Evelyn Lamb, who has also written an excellent discussion of the problem with the video.  At the end of this post I list all the critiques I’ve found so far.

I feel like one of those grizzled action heroes who, having given it all up, is dragged reluctantly out of retirement for one more big mission.  Over the past month or so (honestly, I forget how long I was working on things), I wrote a series of blog posts on the “weirdness” of infinity in mathematical set theory.  Hopefully, there were two things that I got across in those posts: (1) infinity can be very weird, but (2) it can be comprehended, and even reasonable, once one understands the assumptions and limitations built into the mathematics.

Having retired from writing those posts, the other…

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Cientistas de férias – sqn. I

Eu sempre fui muito apaixonado pela Serra do Mar e não por acaso resolvi passar alguns dias no litoral norte de São Paulo na região Juréia – Itatins com a minha esposa.

Cachoeira
Uma pequena cachoeira em Guaraúna – Peruíbe, SP

Ao admirar algumas cachoeiras que brotam nos altos da Serra, fico imaginando o processo de “bombeamento” de toda aquela água “morro acima”.  É um processo quase contínuo que brota água (muita) lá em cima.

Cachoeira - ii
Uma cachoeira na Serra do Mar

JÁ PENSARAM NISSO? Ao final, que processo e com que energia essa água sobe, para então descer, essencialmente para o mar e de alguma forma por entre as rochas voltar para o topo da serra?

Uma bromélia na mata atlântica

Uma bromélia (eu acho) na mata atlântica no maciço da Juréia, em Peruíbe, SP.

bromélia
Uma bromélia na Matá Atlântica

Foto tirada em Janeiro/2014 (verão).
INFO:
Date Created: 2014/01/12 13:35:12
Date Modified: 2014/01/12 19:43:45
File Size: 19,1 MB, 8,61 MB
Image Size: L (6016 x 4000)
File Info 2
Date Shot: 2014/01/12 13:35:12.90
Time Zone and Date: UTC-3, DST:ON
Image Quality: Compressed RAW (12-bit), Jpeg Fine (8-bit)
Camera Info
Device: Nikon D3200
Lens: VR 18-55mm f/3.5-5.6G
Focal Length: 18mm
Focus Mode: AF-A
AF-Area Mode: Single
VR: ON
AF Fine Tune:
Exposure
Aperture: f/8
Shutter Speed: 1/125s
Scene Mode: Close-up
Exposure Comp.: 0EV
Exposure Tuning:
Metering: Matrix
ISO Sensitivity: Auto (ISO 160)
Flash
Device:
Image Settings
White Balance: Auto, 0, 0
Color Space: sRGB
High ISO NR: ON (Normal)
Long Exposure NR: OFF
Active D-Lighting: Auto
Image Authentication:
Vignette Control:
Auto Distortion Control: ON
Picture Control
Picture Control: [SD] STANDARD
Base: [SD] STANDARD
Quick Adjust: –
Sharpening: Auto
Contrast: 0
Brightness: 0
Saturation: 0
Hue: 0

Pesquisas de estimação

Por um lado as ciências médicas e farmacêuticas, além das indústrias bélicas, têm usado animais em vários estágios e de diversas maneiras, há alguns séculos em qualquer lugar do mundo. Poucos recusam os beneficios que muitas dessas pesquisas trouxeram ao ser humano. Além disso, a grande majora da população come carne, isto é, matamos várias espécies de animais para a nossa alimentação.

Por outro lado, não aceitamos maus tratos com animais, tanto que todas as pesquisas sérias e registradas devem ter aprovação por uma rigorosa comissão de ética.

Mesmo assim, uma revolta contra um Instituto de pesquisa teve ampla repercussão no Brasil em Outubro/2013.

E não por acaso. Se não sabemos como um beagle desses é tratado, imaginamos imediatamente o pior cenário. E para piorar, pesquisas de imagem cerebral de cachorros treinados dão indícios de que eles pensam, só não conseguem falar, ao ponto dos cientistas  envolvidos nessa pesquisa defenderem para os cães uma personalidade quase humana e que “Dogs Are People, Too”.

Um beagle com olhar expressivo
Os Beagle são cães vigorosos e distintos, que apresentam uma construção compacta. A raça Beagle é muito carinhosa, alegre.

Além do mais, os cães têm a habilidade  olhar diretamente nos nossos olhos para avaliar nossas reações e decidir o que fazer e daí aprenderam a ser os melhores amigos do homem.

A Milú olha nos meus olhos
A Milú tenta “ler” o meu olhar

Acho que por isso, a revolta às pesquisas com cachorros, e animais de estimação em geral, sempre terão muita reação contrária, por mais que eles sejam bem tratados.

O tema não é simples de ser abordado, como bem explica o Yuri em seu vídeo:

Agora que os ânimos na mídia já diminuíram, o que você sugerem?

Todo ímpar maior do que 5 é uma soma de três primos

Em carta a Euler, em torno de 1742, Goldbach afirmou, em outras palavras, que todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos. Essa é a versão moderna atualmente conhecida da conjectura fraca de Goldbach.

Vamos a dois exemplos:

  • 7 = 2+2+3.
  • 27 = 3+11+13.

Observe que os números primos podem ser repetidos e que os matemáticos consideram primos os números que são divisíveis apenas por eles próprios e pelo um, sendo que o número um não é considerado número primo. 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são números primos, por exemplo.

Com um pouco de tentativa e erro a gente consegue encontrar três números primos que somam o número ímpar. Tente você outros números ímpares. É possível que existam mais de uma decomposição em três números primos, mas a conjectura afirma que existe pelo menos um trio de primos que somam cada número ímpar maior do que 5.

Essa conjectura foi estudada há 271 por vários matemáticos, mas somente agora, em Maio de 2013, o matemático peruano, que estudou nos Estados Unidos e trabalha na França, Harald Andrés Helfgott, publicou a demonstração de que a conjectura é verdadeira, para todos os números naturais ímpares maiores do que 5.

Matemático
Harald Andrés Helfgott

A conjectura já tinha sido parcialmente provada para números ímpares muito grandes.

Faz algum sentido que se o número é muito grande, é imaginável encontrar 3 números primos dentre os muitos que existem abaixo desse número grande, que satisfaçam a exigência de que a sua soma resulte nesse número grande.

Em outras palavras e com todo o rigor matemático,  em 1937, Vinogradov provou que qualquer número ímpar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. Em 2002 Liu e Wang conseguiram fazer uma boa estimativa para esse número suficientemente grande, a saber, e300  ( o número de Euler à potência 300, ou melhor e^300). Esse número é realmente grande. Na base decimal ele tem 131 dígitos. Nem os mais rápidos computadores modernos conseguiriam verificar, por tentativa e erro, se todos os números ímpares menores do que  e300 seriam escritos como a soma de três números primos.

A bem da verdade, a computação científica tem sido usada exaustivamente para verificar, um a um, essa conjectura. Até recentemente os pesquisadores Oliveira e Silva, Herzog, e Pardi já tinham confirmado com computadores a conjectura para números com até 27 dígitos (8,37 . 10^26).  Agora o próprio Helfgott com o colega da Inglaterra, Platt, conseguiram provar, com o computador, o seguinte:

Todo número ímpar entre 7 e T, em que T = 8. 875. 694. 145. 621. 773. 516. 800. 000. 000.000 ( > 8,875 . 10^30 que tem 31 dígitos) pode ser escrito como a soma de três números primos.

Essa parte computacional está explicada em um artigo de três páginas em que os autores relatam os métodos utilizados para que a computação de mais de 40 mil horas tivesse sucesso.

Isso então complementa os resultados analíticos, sem uso do computador e sim com ferramentas matemáticas, abstratas, rigorosas e formais de que

Todo número ímpar maior do que 10^30 pode ser escrito como a soma de três números primos. 

A demonstração desse teorema acima está resumida em 133 páginas com mais de 70 referências na bibliografia.

Combinando os resultados temos agora o seguinte Teorema de Goldbach e Helfgott:

Todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos.

Todos os detalhes estão nos artigos publicamente disponíveis:

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott  via MyArXiv

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott, David J. Platt  via MyArXiv

Very nice discussion on Rotating Black Holes.

Azimuth

 

The golden ratio shows up in the physics of black holes!

Or does it?

Most things get hotter when you put more energy into them. But systems held together by gravity often work the other way. For example, when a red giant star runs out of fuel and collapses, its energy goes down but its temperature goes up! We say these systems have a negative specific heat.

The prime example of a system held together by gravity is a black hole. Hawking showed—using calculations, not experiments—that a black hole should not be perfectly black. It should emit ‘Hawking radiation’. So it should have a very slight glow, as if it had a temperature above zero. For a black hole the mass of the Sun this temperature would be just 6 × 10-8 kelvin.

This is absurdly chilly, much colder than the microwave background radiation left over…

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