Uma bromélia na mata atlântica

Uma bromélia (eu acho) na mata atlântica no maciço da Juréia, em Peruíbe, SP.

bromélia
Uma bromélia na Matá Atlântica

Foto tirada em Janeiro/2014 (verão).
INFO:
Date Created: 2014/01/12 13:35:12
Date Modified: 2014/01/12 19:43:45
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Pesquisas de estimação

Por um lado as ciências médicas e farmacêuticas, além das indústrias bélicas, têm usado animais em vários estágios e de diversas maneiras, há alguns séculos em qualquer lugar do mundo. Poucos recusam os beneficios que muitas dessas pesquisas trouxeram ao ser humano. Além disso, a grande majora da população come carne, isto é, matamos várias espécies de animais para a nossa alimentação.

Por outro lado, não aceitamos maus tratos com animais, tanto que todas as pesquisas sérias e registradas devem ter aprovação por uma rigorosa comissão de ética.

Mesmo assim, uma revolta contra um Instituto de pesquisa teve ampla repercussão no Brasil em Outubro/2013.

E não por acaso. Se não sabemos como um beagle desses é tratado, imaginamos imediatamente o pior cenário. E para piorar, pesquisas de imagem cerebral de cachorros treinados dão indícios de que eles pensam, só não conseguem falar, ao ponto dos cientistas  envolvidos nessa pesquisa defenderem para os cães uma personalidade quase humana e que “Dogs Are People, Too”.

Um beagle com olhar expressivo
Os Beagle são cães vigorosos e distintos, que apresentam uma construção compacta. A raça Beagle é muito carinhosa, alegre.

Além do mais, os cães têm a habilidade  olhar diretamente nos nossos olhos para avaliar nossas reações e decidir o que fazer e daí aprenderam a ser os melhores amigos do homem.

A Milú olha nos meus olhos
A Milú tenta “ler” o meu olhar

Acho que por isso, a revolta às pesquisas com cachorros, e animais de estimação em geral, sempre terão muita reação contrária, por mais que eles sejam bem tratados.

O tema não é simples de ser abordado, como bem explica o Yuri em seu vídeo:

Agora que os ânimos na mídia já diminuíram, o que você sugerem?

Todo ímpar maior do que 5 é uma soma de três primos

Em carta a Euler, em torno de 1742, Goldbach afirmou, em outras palavras, que todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos. Essa é a versão moderna atualmente conhecida da conjectura fraca de Goldbach.

Vamos a dois exemplos:

  • 7 = 2+2+3.
  • 27 = 3+11+13.

Observe que os números primos podem ser repetidos e que os matemáticos consideram primos os números que são divisíveis apenas por eles próprios e pelo um, sendo que o número um não é considerado número primo. 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são números primos, por exemplo.

Com um pouco de tentativa e erro a gente consegue encontrar três números primos que somam o número ímpar. Tente você outros números ímpares. É possível que existam mais de uma decomposição em três números primos, mas a conjectura afirma que existe pelo menos um trio de primos que somam cada número ímpar maior do que 5.

Essa conjectura foi estudada há 271 por vários matemáticos, mas somente agora, em Maio de 2013, o matemático peruano, que estudou nos Estados Unidos e trabalha na França, Harald Andrés Helfgott, publicou a demonstração de que a conjectura é verdadeira, para todos os números naturais ímpares maiores do que 5.

Matemático
Harald Andrés Helfgott

A conjectura já tinha sido parcialmente provada para números ímpares muito grandes.

Faz algum sentido que se o número é muito grande, é imaginável encontrar 3 números primos dentre os muitos que existem abaixo desse número grande, que satisfaçam a exigência de que a sua soma resulte nesse número grande.

Em outras palavras e com todo o rigor matemático,  em 1937, Vinogradov provou que qualquer número ímpar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. Em 2002 Liu e Wang conseguiram fazer uma boa estimativa para esse número suficientemente grande, a saber, e300  ( o número de Euler à potência 300, ou melhor e^300). Esse número é realmente grande. Na base decimal ele tem 131 dígitos. Nem os mais rápidos computadores modernos conseguiriam verificar, por tentativa e erro, se todos os números ímpares menores do que  e300 seriam escritos como a soma de três números primos.

A bem da verdade, a computação científica tem sido usada exaustivamente para verificar, um a um, essa conjectura. Até recentemente os pesquisadores Oliveira e Silva, Herzog, e Pardi já tinham confirmado com computadores a conjectura para números com até 27 dígitos (8,37 . 10^26).  Agora o próprio Helfgott com o colega da Inglaterra, Platt, conseguiram provar, com o computador, o seguinte:

Todo número ímpar entre 7 e T, em que T = 8. 875. 694. 145. 621. 773. 516. 800. 000. 000.000 ( > 8,875 . 10^30 que tem 31 dígitos) pode ser escrito como a soma de três números primos.

Essa parte computacional está explicada em um artigo de três páginas em que os autores relatam os métodos utilizados para que a computação de mais de 40 mil horas tivesse sucesso.

Isso então complementa os resultados analíticos, sem uso do computador e sim com ferramentas matemáticas, abstratas, rigorosas e formais de que

Todo número ímpar maior do que 10^30 pode ser escrito como a soma de três números primos. 

A demonstração desse teorema acima está resumida em 133 páginas com mais de 70 referências na bibliografia.

Combinando os resultados temos agora o seguinte Teorema de Goldbach e Helfgott:

Todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos.

Todos os detalhes estão nos artigos publicamente disponíveis:

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott  via MyArXiv

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott, David J. Platt  via MyArXiv

Very nice discussion on Rotating Black Holes.

Azimuth

 

The golden ratio shows up in the physics of black holes!

Or does it?

Most things get hotter when you put more energy into them. But systems held together by gravity often work the other way. For example, when a red giant star runs out of fuel and collapses, its energy goes down but its temperature goes up! We say these systems have a negative specific heat.

The prime example of a system held together by gravity is a black hole. Hawking showed—using calculations, not experiments—that a black hole should not be perfectly black. It should emit ‘Hawking radiation’. So it should have a very slight glow, as if it had a temperature above zero. For a black hole the mass of the Sun this temperature would be just 6 × 10-8 kelvin.

This is absurdly chilly, much colder than the microwave background radiation left over…

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π não é tri

Símbolo para o pi
Símbolo para o pi

O valor do número π (pi)  não é 3. Como todo número irracional, ele não pode ser escrito com um número racional da forma a/b (a dividido por b, onde a e b são naturais) e a sua representação decimal não tem fim.

No parágrafo anterior só há de negações. Então, vamos às afirmações.

π é um número irracional, transcendental que está intimamente relacionado ao círculo.

Um círculo pode ser construído com um compasso.

Um círculo por um compasso
Desenho de um círculo com um compasso

E com uma régua podemos medir a distância da circunferência ao centro (na prática é a abertura do compasso). O perímetro, isto é, o comprimento da circunferência não é imediatamente mensurável com uma régua. É preciso um instrumento que se dobre, como um cordão, e assim podemos medir o perímetro do círculo.

Um experimento que todos devem fazer em algum momento da vida (dentro ou fora da escola) é medir o perímetro e o raio e calcular a divisão do perímetro pelo diâmetro (que é o dobro do raio). E fazer esse procedimento para círculos de vários tamanhos. Seja o círculo grande ou pequeno, com perímetros e diâmetros correspondentes grandes e pequenos, a divisão do perímetro pelo diâmetro é essencialmente (sempre há algum erro nas medidas) a mesma. Com muito mais análise, a humanidade descobriu que o perímetro é proporcional ao diâmetro, e a constante de proporcionalidade é o número π.

Alguém pode dizer, “grande coisa” pois sabemos que há outras figuras planas geométricas nas quais o perímetro é proporcional ao “diâmetro”, basta tomar o cuidado de definir bem as figuras e os conceitos de perímetro e diâmetro. Mais sobre isso na tabela abaixo.

Mas porque algumas vezes considera-se π com o valor 3? É uma aproximação para fazer cálculos mentais ou estimativas grosseiras, mas tanto o valor quanto o significado são bem diferentes. Em termos relativos, o erro é próximo a 5% e assim é aceitável para algumas aplicações. Em termos conceituais, Pi é um número irracional e 3 é um número de contagem Natural.

Observe, por exemplo, um círculo de raio unitário que tem perímetro 2 π (o dobro de pi) Se a dita aproximação é usada, então o perímetro seria 6, que é congruente ao perímetro de um triângulo equilátero de lado 2.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos

Já o valor da área do círculo unitário é  π. Se a dita aproximação também é usada para a sua área, ela seria 3, que é a área equivalente à de um triângulo equilátero de lado 2,7, aproximadamente.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.

Podemos superpor as três figuras para enfatizar que a aproximação para o número π é ambígua e depende da aplicação na qual a aproximação faz algum sentido:

π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3.
π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3. O trio é concêntrico.

Se em algum cálculo de Matemática Aplicada o π é aproximado por 3, deve-se manter a coerência no uso dos algarismos significativos das demais grandezas ou quantidades envolvidas.

Por exemplo, considere o volume de uma gota de chuva, que tenha o formato aproximado de uma esfera. A medida feita por fotografia de alta precisão fornece o diâmetro (médio) das gotas de chuva de 1,769 mm. O volume de uma esfera de raio R é dado por 4 π R3 /3 (quatro terços de pi vezes R ao cubo). Se a aproximação grosseira de π é feita, não há razão de manter tantas casas decimais, ou melhor, não é coerente utilizar tantos dígitos significativos pois a dita aproximação para π usa apenas um dígito. Nesse caso, para manter a consistência, o raio da gota seria aproximado por 1 mm e o seu volume seria dado por 4 mm3.

Para finalizar, como prometido, nas figuras planas regulares encontramos facilmente que o diâmetro e o perímetro são proporcionais.

Definições:

  • Diâmetro é a maior distância entre dois pontos.
  • Perímetro é o comprimento total da fronteira, isto é, da curva que engloba a região (conexa) da figura (em geometria Euclideana plana).

Com as duas definições acima calculamos o diâmetro, o perímetro e a razão entre ambos para alguns polígonos regulares (de lados e ângulos congruentes).

Polígono Lado Perímetro Diâmetro Perímetro/Diâmetro
Triângulo a 3a a 3
Quadrado a 4a sqrt{2} a 2 sqrt{2} =aprox 2,82
Pentágono a 5a (1+sqrt{5})a/2 5(sqrt{5}-1)/2 =aprox 3,09
Hexágono a 6a 2a 3
Heptágono a 7a csc(π/14)a/2 14 /cosc(π/14) =aprox 3,12
Octógono a 8a csc(π/8) a 8/csc(π/8) =aprox 3,06

Padrões, Simetrias, Regularidades: Coincidências?

Ao colocar as minhas leituras em dia, encontrei dois trabalhos que têm aspectos matemáticos em comum:

O trabalho publicado na Nature trata de um grupo de galáxias menores que orbitam a nossa vizinha galáxia Andromeda.

Andromeda
Andrômeda

O segundo trabalho publicado na PRL trata do tamanho das folhas de árvores altas.

Tamanho das folhas de árvores altas
Folhas de árvores altas

Em ambos os trabalhos, os pesquisadores perceberam alguns padrões numéricos.

No trabalho de Astronomia os pesquisadores perceberam um subconjunto das galáxias satélites que apresentam os mesmo sentido de rotação que a galáxia central à Andrômeda. Essa percepção não foi visual e sim obtida após um tratamento numérico dos dados observados. Quem desenvolveu ou rodou os programas de computadores para chegar a essa conclusão tem apenas 15 anos e ainda está no Ensino Médio – ele é filho do autor principal, Rodrigo Ibata.

No trabalho de Física Matemática aplicada à Botânica, os pesquisadores perceberam que os tamanhos das folhas de árvores menores variam bem menos do que os de árvores mais altas.  A partir dessas observações de correlação de tamanho de folhas e alturas de árvores, os físicos desenvolveram um modelo Físico Matemático que explica razoavelmente bem a limitação observada no tamanho das folhas.

Moral da história: esses padrões numéricos observados levaram a novos entendimentos nos seus respectivos campos. Não foram apenas coincidências.

Felicidades e Sucessos em 2013

Acho que o calendário deveria ser modificado para que o ano começasse no periélio da Terra, que é o ponto da sua órbita que está mais próximo do Sol. Por exemplo,  a Terra estava em seu periélio em 02/jan/2013 às 3h (horário de verão de Brasília). Mas a tradição do ano novo começar em 01 de Janeiro não vai ser modificada tão logo. Assim, estou atrasado mesmo com este texto.

O que podemos dizer de 2013?

2013 é um número ímpar, mas não é primo. 2013 = 3 x 11 x 61. Além disso, 2013 não tem dígitos repetidos (na base 10). O último ano que teve essa característica foi quando a minha filha Tainá nasceu, em 1987. Verifique essa afirmação: o último ano sem dígitos repetidos foi em 1987!

No entanto, se a base para expressar a quantidade 2013 for 13, temos a completa repetição de dígitos, isto é, (2013)10=(bbb)13. bbb aqui não faz referência alguma a um “reality show” popular.

Isto é, para fazer a contagem em base 13 usamos os seguintes dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c.

Em outras palavras, 2013 pode ser expresso como b unidades, b “trezenas” e b “169 enas”.         É melhor escrever a expressão:

2013 = b + b x 13 + b x 132 = 11 + 11 x 13 + 11 x 132 = 2013

Confere?

Dessa forma, dou-me o direito de repetir meus desejos com BBB:

Bom ano 2013. Boas realizações em 2013. Boa saúde em 2013.

do Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira

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