Very nice discussion on Rotating Black Holes.

Azimuth

 

The golden ratio shows up in the physics of black holes!

Or does it?

Most things get hotter when you put more energy into them. But systems held together by gravity often work the other way. For example, when a red giant star runs out of fuel and collapses, its energy goes down but its temperature goes up! We say these systems have a negative specific heat.

The prime example of a system held together by gravity is a black hole. Hawking showed—using calculations, not experiments—that a black hole should not be perfectly black. It should emit ‘Hawking radiation’. So it should have a very slight glow, as if it had a temperature above zero. For a black hole the mass of the Sun this temperature would be just 6 × 10-8 kelvin.

This is absurdly chilly, much colder than the microwave background radiation left over…

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π não é tri

Símbolo para o pi
Símbolo para o pi

O valor do número π (pi)  não é 3. Como todo número irracional, ele não pode ser escrito com um número racional da forma a/b (a dividido por b, onde a e b são naturais) e a sua representação decimal não tem fim.

No parágrafo anterior só há de negações. Então, vamos às afirmações.

π é um número irracional, transcendental que está intimamente relacionado ao círculo.

Um círculo pode ser construído com um compasso.

Um círculo por um compasso
Desenho de um círculo com um compasso

E com uma régua podemos medir a distância da circunferência ao centro (na prática é a abertura do compasso). O perímetro, isto é, o comprimento da circunferência não é imediatamente mensurável com uma régua. É preciso um instrumento que se dobre, como um cordão, e assim podemos medir o perímetro do círculo.

Um experimento que todos devem fazer em algum momento da vida (dentro ou fora da escola) é medir o perímetro e o raio e calcular a divisão do perímetro pelo diâmetro (que é o dobro do raio). E fazer esse procedimento para círculos de vários tamanhos. Seja o círculo grande ou pequeno, com perímetros e diâmetros correspondentes grandes e pequenos, a divisão do perímetro pelo diâmetro é essencialmente (sempre há algum erro nas medidas) a mesma. Com muito mais análise, a humanidade descobriu que o perímetro é proporcional ao diâmetro, e a constante de proporcionalidade é o número π.

Alguém pode dizer, “grande coisa” pois sabemos que há outras figuras planas geométricas nas quais o perímetro é proporcional ao “diâmetro”, basta tomar o cuidado de definir bem as figuras e os conceitos de perímetro e diâmetro. Mais sobre isso na tabela abaixo.

Mas porque algumas vezes considera-se π com o valor 3? É uma aproximação para fazer cálculos mentais ou estimativas grosseiras, mas tanto o valor quanto o significado são bem diferentes. Em termos relativos, o erro é próximo a 5% e assim é aceitável para algumas aplicações. Em termos conceituais, Pi é um número irracional e 3 é um número de contagem Natural.

Observe, por exemplo, um círculo de raio unitário que tem perímetro 2 π (o dobro de pi) Se a dita aproximação é usada, então o perímetro seria 6, que é congruente ao perímetro de um triângulo equilátero de lado 2.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos

Já o valor da área do círculo unitário é  π. Se a dita aproximação também é usada para a sua área, ela seria 3, que é a área equivalente à de um triângulo equilátero de lado 2,7, aproximadamente.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.

Podemos superpor as três figuras para enfatizar que a aproximação para o número π é ambígua e depende da aplicação na qual a aproximação faz algum sentido:

π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3.
π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3. O trio é concêntrico.

Se em algum cálculo de Matemática Aplicada o π é aproximado por 3, deve-se manter a coerência no uso dos algarismos significativos das demais grandezas ou quantidades envolvidas.

Por exemplo, considere o volume de uma gota de chuva, que tenha o formato aproximado de uma esfera. A medida feita por fotografia de alta precisão fornece o diâmetro (médio) das gotas de chuva de 1,769 mm. O volume de uma esfera de raio R é dado por 4 π R3 /3 (quatro terços de pi vezes R ao cubo). Se a aproximação grosseira de π é feita, não há razão de manter tantas casas decimais, ou melhor, não é coerente utilizar tantos dígitos significativos pois a dita aproximação para π usa apenas um dígito. Nesse caso, para manter a consistência, o raio da gota seria aproximado por 1 mm e o seu volume seria dado por 4 mm3.

Para finalizar, como prometido, nas figuras planas regulares encontramos facilmente que o diâmetro e o perímetro são proporcionais.

Definições:

  • Diâmetro é a maior distância entre dois pontos.
  • Perímetro é o comprimento total da fronteira, isto é, da curva que engloba a região (conexa) da figura (em geometria Euclideana plana).

Com as duas definições acima calculamos o diâmetro, o perímetro e a razão entre ambos para alguns polígonos regulares (de lados e ângulos congruentes).

Polígono Lado Perímetro Diâmetro Perímetro/Diâmetro
Triângulo a 3a a 3
Quadrado a 4a sqrt{2} a 2 sqrt{2} =aprox 2,82
Pentágono a 5a (1+sqrt{5})a/2 5(sqrt{5}-1)/2 =aprox 3,09
Hexágono a 6a 2a 3
Heptágono a 7a csc(π/14)a/2 14 /cosc(π/14) =aprox 3,12
Octógono a 8a csc(π/8) a 8/csc(π/8) =aprox 3,06

Padrões, Simetrias, Regularidades: Coincidências?

Ao colocar as minhas leituras em dia, encontrei dois trabalhos que têm aspectos matemáticos em comum:

O trabalho publicado na Nature trata de um grupo de galáxias menores que orbitam a nossa vizinha galáxia Andromeda.

Andromeda
Andrômeda

O segundo trabalho publicado na PRL trata do tamanho das folhas de árvores altas.

Tamanho das folhas de árvores altas
Folhas de árvores altas

Em ambos os trabalhos, os pesquisadores perceberam alguns padrões numéricos.

No trabalho de Astronomia os pesquisadores perceberam um subconjunto das galáxias satélites que apresentam os mesmo sentido de rotação que a galáxia central à Andrômeda. Essa percepção não foi visual e sim obtida após um tratamento numérico dos dados observados. Quem desenvolveu ou rodou os programas de computadores para chegar a essa conclusão tem apenas 15 anos e ainda está no Ensino Médio – ele é filho do autor principal, Rodrigo Ibata.

No trabalho de Física Matemática aplicada à Botânica, os pesquisadores perceberam que os tamanhos das folhas de árvores menores variam bem menos do que os de árvores mais altas.  A partir dessas observações de correlação de tamanho de folhas e alturas de árvores, os físicos desenvolveram um modelo Físico Matemático que explica razoavelmente bem a limitação observada no tamanho das folhas.

Moral da história: esses padrões numéricos observados levaram a novos entendimentos nos seus respectivos campos. Não foram apenas coincidências.

Felicidades e Sucessos em 2013

Acho que o calendário deveria ser modificado para que o ano começasse no periélio da Terra, que é o ponto da sua órbita que está mais próximo do Sol. Por exemplo,  a Terra estava em seu periélio em 02/jan/2013 às 3h (horário de verão de Brasília). Mas a tradição do ano novo começar em 01 de Janeiro não vai ser modificada tão logo. Assim, estou atrasado mesmo com este texto.

O que podemos dizer de 2013?

2013 é um número ímpar, mas não é primo. 2013 = 3 x 11 x 61. Além disso, 2013 não tem dígitos repetidos (na base 10). O último ano que teve essa característica foi quando a minha filha Tainá nasceu, em 1987. Verifique essa afirmação: o último ano sem dígitos repetidos foi em 1987!

No entanto, se a base para expressar a quantidade 2013 for 13, temos a completa repetição de dígitos, isto é, (2013)10=(bbb)13. bbb aqui não faz referência alguma a um “reality show” popular.

Isto é, para fazer a contagem em base 13 usamos os seguintes dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c.

Em outras palavras, 2013 pode ser expresso como b unidades, b “trezenas” e b “169 enas”.         É melhor escrever a expressão:

2013 = b + b x 13 + b x 132 = 11 + 11 x 13 + 11 x 132 = 2013

Confere?

Dessa forma, dou-me o direito de repetir meus desejos com BBB:

Bom ano 2013. Boas realizações em 2013. Boa saúde em 2013.

Previsões para as Olimpíadas de Londres 2012

[UPDATE: RESULTADOS FINAIS ENTRE COLCHETES ABAIXO]

Um estudo de economia desenvolveu uma fórmula para prever a quantidade de medalhas de um país nas Olimpíadas. Grosso modo, os economistas  levam em conta a população (quanto mais gente mais chances de aparecer super atletas) o PIB (quanto mais recursos mais investimentos nos esportes), o histórico prévio em Olimpíadas e se o país sedia as Olimpíadas ou não.

previsão para os 15 primeiros países (total de medalhas) é a seguinte: 

Medalhas das Olimpiadas
Medalhas das Olimpíadas
  1. United States 103  [104]
  2. China 94  [87]
  3. Russian Federation 67 [82]
  4. United Kingdom 62 [65]
  5. Australia 42  [Germany 44]
  6. Germany 39 [Japão 38]
  7. France 39 [Austrália 35]
  8. Korea, Rep. 29 [França 34]
  9. Italy 26 [Korea, Rep. 28]
  10. Japan 25 [Italy 28]
  11. Ukraine 23 [Netherlands 20]
  12. Cuba 19 [Ukraine 20]
  13. Spain 18 [Canadá 18]
  14. Canada 18 [Hungary 17]
  15. Brazil 15 [Espanha 17]

[Ao final o Brazil ficou em 16 lugar com 17 medalhas]

Em termos de medalhas de ouro a previsão dá vitória para a China. A previsão para os países que ganharem mais de 10 medalhas é a seguinte:

  1. China 48 [United States 46]
  2. United States 35 [China 38]
  3. United Kingdom 25 [29]
  4. Russian Federation 21 [24]
  5. Germany 15 [Korea, Rep 13]
  6. Australia 12 [Germany 11]
  7. Korea, Rep. 11 [França 11]

Usualmente, os economistas usam as estatísticas e fazem previsões ousadas sem muito fundamento. Isso já foi feito antes com resultados até razoáveis. Ao final das Olimpíadas veremos se as previsões se confirmam e o quanto acertaram.

Partícula maldita: Hugs for Higgs

No dia 4 Julho de 2012, além dos tradicionais comemorativos e fogos de artifícios entre os Americanos, os físicos do LHC (grande acelerador e colidor de hadrons) anunciaram a tão esperada descoberta da partícula de Higgs.

Partícula de Higgs
A descoberta no LHC que muito provavelmente é a partícula de Higgs. Credit: CERN/CMS collaboration 2011

Foi a alegria da imprensa, glória dos físicos experimentais, sentimentos conflitantes para os físicos teóricos e não fez a menor diferença para 7 bilhões de pessoas.

A imprensa pegou a péssima referência ao boson de Higgs como sendo a partícula de Deus. Esse nome foi dado ao título de um livro de divulgação científica que trata da história, teoria e a procura experimental dessa componente que faltava ao quebra-cabeça da física das interações fundamentais entre as partículas elementares. O autor queria intitular o livro como Goddamn Particle, (Partícula amaldiçoada em uma tradução livre) mas o editor considerou o título muito forte e agressivo e sugeriu God’s Particle. Ao que parece o autor concordou, inclusive pelo fato da partícula ser onipresente, isto é, essa partícula permearia todo o Universo. Fora o eventual ganho comercial, toda a comunidade de físicos lamenta e esbraveja quando se faz referência ao boson de Higgs como sendo a partícula de Deus, ou pior ainda, partícula divina. A onipresença do boson de Higgs não é diferente da do foton. Isto é, as partículas elementares da luz são tão ou mais onipresentes do que os bosons de Higgs. Admito a grande importância do boson de Higgs “fornecer” massa para algumas partículas, mas todas as partículas têm sua importância no Universo que vivemos.

Do ponto de vista experimental, não se pode deixar de elogiar a descoberta.  A quantidade de energia e precisão na colisão dos protons no LHC são impressionantes. A cada segundo de operação, o LHC produz um Pentabyte (mil Gigabyte) de dados. Não por acaso levou duas décadas e bilhões de Euros até chegar às observações divulgadas. E ainda assim com muito que fazer para dar mais confiança (estatística) e garantir as demais propriedades esperadas dessa partícula.

Na visão da física teórica o anúncio é ao mesmo tempo um alívio (Finalmente!) e apreensão (Não encontraram mais nada?). Vou me atrever explicar com algum detalhe o modelo padrão das interações fundamentais e partículas elementares como  divulgação científica um pouco mais aprofundada do que apenas a ilustração abaixo:

Partículas do modelo padrão das interações fundamentais e partículas elementares.

O resumo é esse: 16 tipos de partículas mais o boson de Higgs conseguem explicar, dentro das margens de erro das observações experimentais, as interações eletromagnéticas e nucleares (forças fracas e fortes). Só a interação gravitacional não é contemplada nesse modelo, que é proporcionalmente a interação mais fraca de todas. Vejam também o excelente infográfico Standard Model of fundamental particles and interactions.

O caminho que os físicos tomaram para chegar a esse modelo é muito interessante.

Convém observar que o termo partícula nesse contexto se refere a uma característica bem definida do ponto de vista matemático, mas não necessariamente é um pedacinho infinitesimalmente pequeno de matéria ou energia. A Física Quântica nos forçou abrir mão de vislumbrar ou medir “objetos” muito localizados e aceitar o conceito de campos e suas transformações no espaço-tempo. Sim, como se não bastassem as interpretações contra intuitivas da Quântica, o modelo padrão incorpora também a Teoria da Relatividade Especial (dos movimentos) de Einstein.

O modelo padrão é a teoria quântica de campos que leva em conta tanto os princípios da mecânica quântica quanto os da Relatividade Especial. A teoria quântica de campos foi desenvolvida por Paul Dirac, Abdus Salam, Steven Weinberg, Sheldon Glashow, Richard Feynman e muitos outros nos anos 1950 e 1960.

A “brincadeira” é a seguinte: Em quântica a gente lida matematicamente com elementos de um espaço vetorial (vetores de Hilbert), mas o que se observa ou mede são as normas ou medidas deles. Assim, vetores distintos (matematicamente) podem representar a mesma observação física. Pense em um número complexo no qual o que importa é apenas o seu módulo. Então vários números complexos podem ter o mesmo módulo, que no plano complexo seria uma circunferência. Se um estado quântico é representado por esse número, dizemos que ele tem uma simetria (global) de fase, z->z’=exp(i t) z. Isto implica que z e z’  têm o mesmo módulo, qualquer que seja t. Agora imagine que esse estado z seja uma função do evento do espaço-tempo r. Essa dependência r não pode ser arbitrária pois as transformações de translação ou rotação não devem alterar as observações. Isto implica que z(r) -> z'(r’) em que r->r’  por uma transformação de Poincaré (ou transformação não homogênea de Lorentz). A teoria deve ter uma simetria apropriada sobre essas transformações possíveis de Poincaré. Misturar ambas as possibilidades de simetrias e torná-las locais exigiu criatividade dos físicos pós segunda guerra mundial, mas a teoria do modelo padrão mostrou que é possível descrever estados quânticos que respeitem as simetrias sob transformações de Poincaré e transformações de fase (gauge). A teoria foi desenvolvida para partículas livres, sem interações, e aos poucos para partículas em interações por processos similares aos que entendemos por colisão de partículas ou espalhamento.

Para isso há uma distinção muito clara entre estados (partículas) que não tenham massa daquelas que tenham massa e estados (partículas) com estruturas “internas” que sejam reveladas por rotações (spin).

Partículas de massa zero não têm inércia e viajam sempre com a velocidade da luz. Além disso, elas têm dois (e apenas dois) estados distintos equivalentes às polarizações do campo eletromagnético ou helicidade para um dado nível de energia.

Partículas de massa maiores do que zero viajam com velocidade inferior à velocidade da luz e podem ser caracterizadas pelo spin; que tem características similares ao momentum angular, mas toma valores discretos – podem ser inteiros ou semi-inteiros da constante de Planck.

Assim, uma partícula livre pode ser caracterizada por |m,s> em que m é a massa e s=0, 1/2, 1, 3/2 etc (de meio em meio) ou por |E, h> em que E é a energia da partícula sem massa e h é a helicidade que pode ser + ou – .

As partículas de spin inteiros são chamadas de bosons em homenagem ao físico Bose e as de spin semi-inteiros são fermions em homenagem a Fermi.

Os bosons e os fermions têm comportamento grupal (estatística) muito diferentes. Os bosons podem se sobrepor em um determinado evento do espaço-tempo, já o fermions não pois obedecem o princípio de exclusão de Fermi. Isto é, não é possível ter dois fermions no mesmo lugar ao mesmo tempo enquanto que os bosons não sentem essa proibição.

No diagrama acima, os quarks e os leptons são partículas (de matéria) de spin 1/2 e as partículas de interação são bosons de spin 0 ou 1. E nesse contexto o boson de Higgs tem spin 0. Para completar a descrição das partículas elementares precisamos indicar as respectivas cargas elétricas.

Em resumo, o cenário para o modelo padrão está colocado. Os modelos dos anos 50 tinham propostas interessantes para explicar as interações nucleares fracas de maneira semelhante às interações eletromagnéticas com base nos grupos de simetrias das partículas de matéria fermiônicas em interação umas com as outras através das partículas bosônicas de interação. Mas enquanto a partícula de interação eletromagnética, o foton, não tem massa, as partículas das interações nucleares precisam ter massa. Por causa da massa das partículas de interação como Z e W a força nuclear fraca tem curto alcance. Essa interação é a responsável pelo decaimento radioativo Beta, por exemplo, no qual um neutron decai em um proton, um eletron e um (anti)neutrino intermediado pelo boson W . Dessa forma, a teoria precisava, do ponto de vista matemático, de um procedimento para diferenciar o caso do foton sem massa dos casos do Z e W com massa.

É aí que entra o Higgs, o físico. Ele propôs uma nova partícula que interage com as partículas que reconhecemos que devem ter massa. É pela interação com essa partícula onipresente que as partículas obtêm a inércia, isto é, a massa.

Nesse sentido, o cenário que se começa é o de simetria das partículas sem massa e a partícula de Higgs quebra essa simetria: algumas partículas têm massa e outras não. O próprio boson de Higgs tem massa graças a uma auto interação!

O boson de Higgs fornece massa para as partículas

Essa massa do boson de Higgs, de acordo com as descobertas anunciadas nesse 4 de Julho, está entre 125 e 126 GeV.

A observação não é direta. O LHC força a colisão (frontal) de proton e anti-protons. Com tanta energia e nenhum spin nem carga é possível ter um estado de quarks e gluons com um estado intermediário de quarks que recebem massa de Higgs,  se aniquilam e emitem 2 fotons de alta energia ou 2 pares de leptons, como eletrons e anti-eletrons, para cada partícula de Higgs. Os detectores do acelerador detectaram consistentemente fotons e alguns leptons que totalizam aquela energia. Em símbolo essas são os possíveis canais para o boson de Higgs: H -> γγ e  H-> 4l.

Vejam o gráfico abaixo. O sinal da existência do boson provável de Higgs está aí. O gráfico pode parecer pouco pois resume muito cruelmente uma quantidade enorme de dados. Mas é um sinal com mais de 94% de confiança, ou melhor, as chances de que isso seja espúrio por puro azar é de uma um milhão.

CMS 7 TeV + 8 TeV diphoton channel CMS.
Source: Phil Gibbs

E agora?

Resta tirar toda e qualquer dúvida de que é o boson de Higgs do modelo padrão. Para isso, outras formas de decaimento teóricos devem aparecer nos dados obtidos ou por obter em breve.

O modelo padrão não é perfeito sob vários aspectos, em particular por não contemplar a gravitação conhecida pela Relatividade Geral de Einstein. E por várias razões há muitas propostas de teorias que aumentariam a abrangência de validade do modelo padrão ou a tornaria mais coerente em termos matemáticos e estéticos (de simetrias por exemplo), como supersimetria, supercordas, dimensões extras, supermenbranas etc.

Algumas dessas propostas teóricas perderam muito de seu apelo em virtude das observações recentes, inclusive essa do boson provável de Higgs. See this comment from Peter Woit.

De qualquer forma, como cientistas e físicos, devemos sair para o abraço. Hugs for Higgs!

Para ler mais:

Terceira Sexta-feira 13 em 2012

Essa é a terceira Sexta-feira 13 nesse ano. A primeira foi em Janeiro, 13 semanas depois, em Abril, vivemos a segunda. E agora em Julho, 13 semanas depois, estamos experimentando a terceira (e última) sexta-feira 13 de 2012.

O calendário Gregoriano repete o mesmo padrão a cada 400 anos. Isto segue da regra dos anos bissextos que corrigem o fato da Terra completar a órbita em torno do Sol em um número fracionário de dias, a saber, 365+1/4 -1/100+1/400 dias. Assim, em 400 anos existem exatamente 400x(365+1/4 -1/100+1/400) = 400×365+100-4+1 = 146.097 (cento e quarenta e seis mil e noventa e sete dias). E não por acaso tem um número exato de semanas, isto é, 146.097/7 = 20.871 semanas, assim como um número exato de meses que são 400×12 = 4.800 meses e portanto essa é a quantidade de vezes que o 13 aparece nos meses, nesse período de quatro séculos.

Desses 4800, há 688 vezes que o décimo terceiro dia do mês é uma sexta-feira. Veja a tabela abaixo:

Dia Quantidade de 13s Porcentagem
Domingo 687 14,31%
Segunda 685 14,27%
Terça 685 14,27%
Quarta 687 14,31%
Quinta 684 14,25%
Sexta 688 14,33%
Sábado 684 14,25%

Assim, é um pouquinho mais frequente que o 13o dia do mês seja uma Sexta-feira do que qualquer outro dia da semana. Essa afirmação é equivalente a dizer que é mais frequente o mês começar no Domingo do que qualquer outro dia da semana. Observe que 1/7  é a dízima periódica 0,(142857) que é aproximadamente 14,29% enquanto que a tabela acima mostra que as Sextas-feiras 13 ocorrem aproximadamente na porcentagem 14,33%.

Por que dessa pequena coincidência?

Não tenho uma explicação simples e elegante para esse padrão. A tabela acima foi obtida na “bruta força”.  Hoje temos programas de computador para fazer isso. Por exemplo, o aplicativo do Mathematica:

Calendar Calculator” from the Wolfram Demonstrations Project
http://demonstrations.wolfram.com/CalendarCalculator/

Em relação ao preconceito supersticioso em torno da Sexta-feira, ele só aparece explicitamente na biografia em inglês de Henry Edward em 1869.

Veja mais sobre a matemática da sexta-feira 13 no Wolfram e no artigo para o THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER de 1985. Sobre o Calendário Gregoriano, veja na Wikipedia.

PS. Comecei escrever este post de manhã. Só terminei no dia seguinte por conta de “imprevistos” de uma Sexta-feira 13.

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