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Todo ímpar maior do que 5 é uma soma de três primos

Em carta a Euler, em torno de 1742, Goldbach afirmou, em outras palavras, que todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos. Essa é a versão moderna atualmente conhecida da conjectura fraca de Goldbach.

Vamos a dois exemplos:

  • 7 = 2+2+3.
  • 27 = 3+11+13.

Observe que os números primos podem ser repetidos e que os matemáticos consideram primos os números que são divisíveis apenas por eles próprios e pelo um, sendo que o número um não é considerado número primo. 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são números primos, por exemplo.

Com um pouco de tentativa e erro a gente consegue encontrar três números primos que somam o número ímpar. Tente você outros números ímpares. É possível que existam mais de uma decomposição em três números primos, mas a conjectura afirma que existe pelo menos um trio de primos que somam cada número ímpar maior do que 5.

Essa conjectura foi estudada há 271 por vários matemáticos, mas somente agora, em Maio de 2013, o matemático peruano, que estudou nos Estados Unidos e trabalha na França, Harald Andrés Helfgott, publicou a demonstração de que a conjectura é verdadeira, para todos os números naturais ímpares maiores do que 5.

Matemático
Harald Andrés Helfgott

A conjectura já tinha sido parcialmente provada para números ímpares muito grandes.

Faz algum sentido que se o número é muito grande, é imaginável encontrar 3 números primos dentre os muitos que existem abaixo desse número grande, que satisfaçam a exigência de que a sua soma resulte nesse número grande.

Em outras palavras e com todo o rigor matemático,  em 1937, Vinogradov provou que qualquer número ímpar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. Em 2002 Liu e Wang conseguiram fazer uma boa estimativa para esse número suficientemente grande, a saber, e300  ( o número de Euler à potência 300, ou melhor e^300). Esse número é realmente grande. Na base decimal ele tem 131 dígitos. Nem os mais rápidos computadores modernos conseguiriam verificar, por tentativa e erro, se todos os números ímpares menores do que  e300 seriam escritos como a soma de três números primos.

A bem da verdade, a computação científica tem sido usada exaustivamente para verificar, um a um, essa conjectura. Até recentemente os pesquisadores Oliveira e Silva, Herzog, e Pardi já tinham confirmado com computadores a conjectura para números com até 27 dígitos (8,37 . 10^26).  Agora o próprio Helfgott com o colega da Inglaterra, Platt, conseguiram provar, com o computador, o seguinte:

Todo número ímpar entre 7 e T, em que T = 8. 875. 694. 145. 621. 773. 516. 800. 000. 000.000 ( > 8,875 . 10^30 que tem 31 dígitos) pode ser escrito como a soma de três números primos.

Essa parte computacional está explicada em um artigo de três páginas em que os autores relatam os métodos utilizados para que a computação de mais de 40 mil horas tivesse sucesso.

Isso então complementa os resultados analíticos, sem uso do computador e sim com ferramentas matemáticas, abstratas, rigorosas e formais de que

Todo número ímpar maior do que 10^30 pode ser escrito como a soma de três números primos. 

A demonstração desse teorema acima está resumida em 133 páginas com mais de 70 referências na bibliografia.

Combinando os resultados temos agora o seguinte Teorema de Goldbach e Helfgott:

Todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos.

Todos os detalhes estão nos artigos publicamente disponíveis:

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott  via MyArXiv

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott, David J. Platt  via MyArXiv

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π não é tri

Símbolo para o pi
Símbolo para o pi

O valor do número π (pi)  não é 3. Como todo número irracional, ele não pode ser escrito com um número racional da forma a/b (a dividido por b, onde a e b são naturais) e a sua representação decimal não tem fim.

No parágrafo anterior só há de negações. Então, vamos às afirmações.

π é um número irracional, transcendental que está intimamente relacionado ao círculo.

Um círculo pode ser construído com um compasso.

Um círculo por um compasso
Desenho de um círculo com um compasso

E com uma régua podemos medir a distância da circunferência ao centro (na prática é a abertura do compasso). O perímetro, isto é, o comprimento da circunferência não é imediatamente mensurável com uma régua. É preciso um instrumento que se dobre, como um cordão, e assim podemos medir o perímetro do círculo.

Um experimento que todos devem fazer em algum momento da vida (dentro ou fora da escola) é medir o perímetro e o raio e calcular a divisão do perímetro pelo diâmetro (que é o dobro do raio). E fazer esse procedimento para círculos de vários tamanhos. Seja o círculo grande ou pequeno, com perímetros e diâmetros correspondentes grandes e pequenos, a divisão do perímetro pelo diâmetro é essencialmente (sempre há algum erro nas medidas) a mesma. Com muito mais análise, a humanidade descobriu que o perímetro é proporcional ao diâmetro, e a constante de proporcionalidade é o número π.

Alguém pode dizer, “grande coisa” pois sabemos que há outras figuras planas geométricas nas quais o perímetro é proporcional ao “diâmetro”, basta tomar o cuidado de definir bem as figuras e os conceitos de perímetro e diâmetro. Mais sobre isso na tabela abaixo.

Mas porque algumas vezes considera-se π com o valor 3? É uma aproximação para fazer cálculos mentais ou estimativas grosseiras, mas tanto o valor quanto o significado são bem diferentes. Em termos relativos, o erro é próximo a 5% e assim é aceitável para algumas aplicações. Em termos conceituais, Pi é um número irracional e 3 é um número de contagem Natural.

Observe, por exemplo, um círculo de raio unitário que tem perímetro 2 π (o dobro de pi) Se a dita aproximação é usada, então o perímetro seria 6, que é congruente ao perímetro de um triângulo equilátero de lado 2.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos

Já o valor da área do círculo unitário é  π. Se a dita aproximação também é usada para a sua área, ela seria 3, que é a área equivalente à de um triângulo equilátero de lado 2,7, aproximadamente.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.

Podemos superpor as três figuras para enfatizar que a aproximação para o número π é ambígua e depende da aplicação na qual a aproximação faz algum sentido:

π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3.
π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3. O trio é concêntrico.

Se em algum cálculo de Matemática Aplicada o π é aproximado por 3, deve-se manter a coerência no uso dos algarismos significativos das demais grandezas ou quantidades envolvidas.

Por exemplo, considere o volume de uma gota de chuva, que tenha o formato aproximado de uma esfera. A medida feita por fotografia de alta precisão fornece o diâmetro (médio) das gotas de chuva de 1,769 mm. O volume de uma esfera de raio R é dado por 4 π R3 /3 (quatro terços de pi vezes R ao cubo). Se a aproximação grosseira de π é feita, não há razão de manter tantas casas decimais, ou melhor, não é coerente utilizar tantos dígitos significativos pois a dita aproximação para π usa apenas um dígito. Nesse caso, para manter a consistência, o raio da gota seria aproximado por 1 mm e o seu volume seria dado por 4 mm3.

Para finalizar, como prometido, nas figuras planas regulares encontramos facilmente que o diâmetro e o perímetro são proporcionais.

Definições:

  • Diâmetro é a maior distância entre dois pontos.
  • Perímetro é o comprimento total da fronteira, isto é, da curva que engloba a região (conexa) da figura (em geometria Euclideana plana).

Com as duas definições acima calculamos o diâmetro, o perímetro e a razão entre ambos para alguns polígonos regulares (de lados e ângulos congruentes).

Polígono Lado Perímetro Diâmetro Perímetro/Diâmetro
Triângulo a 3a a 3
Quadrado a 4a sqrt{2} a 2 sqrt{2} =aprox 2,82
Pentágono a 5a (1+sqrt{5})a/2 5(sqrt{5}-1)/2 =aprox 3,09
Hexágono a 6a 2a 3
Heptágono a 7a csc(π/14)a/2 14 /cosc(π/14) =aprox 3,12
Octógono a 8a csc(π/8) a 8/csc(π/8) =aprox 3,06

Padrões, Simetrias, Regularidades: Coincidências?

Ao colocar as minhas leituras em dia, encontrei dois trabalhos que têm aspectos matemáticos em comum:

O trabalho publicado na Nature trata de um grupo de galáxias menores que orbitam a nossa vizinha galáxia Andromeda.

Andromeda
Andrômeda

O segundo trabalho publicado na PRL trata do tamanho das folhas de árvores altas.

Tamanho das folhas de árvores altas
Folhas de árvores altas

Em ambos os trabalhos, os pesquisadores perceberam alguns padrões numéricos.

No trabalho de Astronomia os pesquisadores perceberam um subconjunto das galáxias satélites que apresentam os mesmo sentido de rotação que a galáxia central à Andrômeda. Essa percepção não foi visual e sim obtida após um tratamento numérico dos dados observados. Quem desenvolveu ou rodou os programas de computadores para chegar a essa conclusão tem apenas 15 anos e ainda está no Ensino Médio – ele é filho do autor principal, Rodrigo Ibata.

No trabalho de Física Matemática aplicada à Botânica, os pesquisadores perceberam que os tamanhos das folhas de árvores menores variam bem menos do que os de árvores mais altas.  A partir dessas observações de correlação de tamanho de folhas e alturas de árvores, os físicos desenvolveram um modelo Físico Matemático que explica razoavelmente bem a limitação observada no tamanho das folhas.

Moral da história: esses padrões numéricos observados levaram a novos entendimentos nos seus respectivos campos. Não foram apenas coincidências.

Felicidades e Sucessos em 2013

Acho que o calendário deveria ser modificado para que o ano começasse no periélio da Terra, que é o ponto da sua órbita que está mais próximo do Sol. Por exemplo,  a Terra estava em seu periélio em 02/jan/2013 às 3h (horário de verão de Brasília). Mas a tradição do ano novo começar em 01 de Janeiro não vai ser modificada tão logo. Assim, estou atrasado mesmo com este texto.

O que podemos dizer de 2013?

2013 é um número ímpar, mas não é primo. 2013 = 3 x 11 x 61. Além disso, 2013 não tem dígitos repetidos (na base 10). O último ano que teve essa característica foi quando a minha filha Tainá nasceu, em 1987. Verifique essa afirmação: o último ano sem dígitos repetidos foi em 1987!

No entanto, se a base para expressar a quantidade 2013 for 13, temos a completa repetição de dígitos, isto é, (2013)10=(bbb)13. bbb aqui não faz referência alguma a um “reality show” popular.

Isto é, para fazer a contagem em base 13 usamos os seguintes dígitos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c.

Em outras palavras, 2013 pode ser expresso como b unidades, b “trezenas” e b “169 enas”.         É melhor escrever a expressão:

2013 = b + b x 13 + b x 132 = 11 + 11 x 13 + 11 x 132 = 2013

Confere?

Dessa forma, dou-me o direito de repetir meus desejos com BBB:

Bom ano 2013. Boas realizações em 2013. Boa saúde em 2013.

As chances do Fluminense, Corinthias e Cruzeiro

Em poucas horas o campeonato brasileiro de futebol vai terminar consagrando um campeão, pelo sistema de soma de pontos corridos: Uma vitória são três pontos, um empate é um ponto e uma derrota zero pontos.

Os três times com chances de vencer o campeonato têm o mesmo número de vitórias, mas diferem no número de empates e derrotas. Por este motivo Fluminense tem 68 pontos enquanto Corinthias e Cruzeiro têm 67 e 66 pontos respectivamente.

Quais são as chances do Fluminense ser campeão? E do Corinthias e Cruzerio?

A gente pode fazer esta conta com algumas hipóteses simples, usando interpretação frequentista da probabilidade, com base na estatística destes times no campeonato.

Fluminense: Foram 37 jogos e 19 vitórias. Assim, a probabilidade de vitória dos três times é igual a 19/37 e a probabilidade de não vencer (empatar ou perder) é o complementar 18/37.

Assim o Fluminense pode ser campeão se:

  1. o Flu vencer o Guarani, independentemente dos outros resultados;
  2. o Flu empatar e os dois outros times não vencerem;
  3. o Flu e o Corinthias perderem e o Cruzeiro não vencer.

E vamos somar estas probabilidades sem considerar as probabilidades dos times contra os quais cada candidato vai jogar hoje.

Assim a probabilidade do Fluminense ganhar o Brasileirão 2010 é

19/37+(11/37)(18/37)(18/37)+(7/37)(8/37)(18/37)

que é aproximadamente 60%. Podemos dizer que em cinco campeonatos que terminem com estas condições, o Fluminense seria campão três vezes.

O Corinthias pode ser campeão se:

  1. o Corinthias  vencer o Goiás e o Flu não vencer o Guarani independente do resultado do Cruzeiro;
  2. o Corinthias empatar, o Flu perder e o Cruzeiro não vencer;

Assim a probabilidade do Corinthias ser campeão é:

(19/37)(18/37)+(10/37)(7/37)(18/37)

que é aproximadamente 27%

Para completar os 100%, as chances do Cruzeiro são 13%.

Nestas estimativas, não consideramos diferenças dos adversários em campo. Isto é, Guarani, Goiás e Palmeiras teriam performances similares às anteriores ao longo do campeonato. Não consideramos tão pouco, um caso de empate de pontos, pois teríamos que considerar os critérios de desempate.

Enfim. Agora vou torcer ou sofrer para que o Flu seja campeão novamente.

UPDATE: O FLUMINENSE É CAMPEÃO BRASILEIRO 2010!

Sensibilidades e a bola da copa de 2010: Jabulani

Alguns jogadores da copa de 2010 fizeram comentários contrários à bola Jabulani ao invés de comemorarem a nova pelota. Nem todos criticaram, como era de se esperar por exemplo do Kaká.

Não é de se estranhar que estes jogadores, tão acostumados com a bola de futebol, percebam diferenças sutis no novo modelo da bola oficial da copa, fornecida pela Adidas.

Quais são as características da nova bola que provocaram o seguintes comentários?

  • horrorosa e parece as que são vendidas em supermercado (Júlio César)
  • Essa bola é sobrenatural. A trajetória que ela faz é estranha, ela sai de você, parece que não gosta que alguém chute. Parece que tem alguém guiando, porque quando você vai chutar ou cabecear, ela muda a trajetória – (Luís Fabiano)
  • Essa de agora é igual a “Patricinha”, que não quer ser chutada de jeito nenhum – (Felipe Mello)

O peso e o tamanho da bola são os mesmos fixados pela FIFA há muitas copas.

A principal novidade é muito sutil. Esta bola foi projetada para ser mais redonda que os modelos anteriores.

Uma esfera de raio 10,98 cm é uma abstração matemática. Produzir uma bola com a mesma curvatura em todos os pontos da superfície, não é trivial. Veja o vídeo ao final deste comentário.

A bola oficial para a copa de 2006 usava 14 painéis para o revestimento mais externo. Esta bola de 2010 usa apenas 8 painéis. Cada painel tem contornos curvos que são desenhadas para ter a menor distorção possível.

Para fazer comparações, a bola oficial de outros campeonatos tem 32 painéis externos: 12 pentágonos, 20 hexágonos, costurados nas 90 arestas, e 60 nós (ou vértices). É um icosaedro truncado. Todas estas costuras, arestas e nós são “suavizados” com o enchimento da bola, mas é claro não produz uma superfície esférica perfeita.

Assim, o novo modelo com painéis curvos introduziu um ajuste melhor para a produção de uma bola mais esférica. Isto já tinha sido feito em 2006. A novidade desta bola de 2010 é que a Adidas reduziu o número de painéis, que implica menor quantidade de emendas e nós.

A bola Jabulani
Os painéis da bola Jabulani

Outra novidade, ainda na parte externa, é a presença de sulcos que podem produzir alguns efeitos importantes para o jogo de futebol:

  • Diminuir a turbulência durante os “vôos” e  aerodinâmicos. Ao orientar parcialmente o vento em cada painel, o fluxo é um pouco mais laminar em média. Este efeito deve ser percebido, pra quem está MUITO acostumado com as bolas anteriores, em bolas chutadas com muita velocidade e pouca rotação. Menor turbulência usualmente implica maior velocidade, no entanto a direção da bola pode oscilar por causa de um fluxo laminar em um painel e turbulento em outro, mas em média, ela é mais estável. Este efeito do fluxo laminar “puxar” a bola para um lado pode ser reproduzida na torneira de casa com um balão.
  • Diminuir a aderência em gramados molhados, como os sulcos em pneus que permitem melhor vazão da água. Este efeito seria sentido em jogos com chuva,  bastante prováveis na época da copa na África do Sul, especialmente na capital.
  • Diminuir as chances de aquaplanagem, novamente como nos pneus. Este efeito não deve ser sentido nos gramados novos dos estádios da copa, pois a drenagem dos campos deve ser suficiente para evitar acúmulo de água.

O material interno da bola não parece ser novidade. Pesquisei que a bola é resultado de materiais dos países emergentes:

Materials / pre-products:

* Thermoplastic polyurethane-elastomer (TPU) TPU 0.3 mm: Manufactured in Taiwan
* Latex bladder: Manufactured in India
* Ethylene vinyl acetate (EVA) EVA 3.5 mm: Manufactured in China
* Isotropic polyester/cotton fabric: Manufactured in China
* Glue: Manufactured in China
* Ink (11 colours): Manufactured in China

Eu não saberia avaliar o quanto esta bola curvaria sob o efeito “folha seca” ou tecnicamente, o efeito Magnus.  Além disto, quando uma bola é chutada, ela se deforma e oscila em modos característicos até voltar à sua forma esférica. Os oscilações ocorrem em frações de segundos, mas quando a bola está em vôo, estas deformações da superfície da bola vão alterar a sua aerodinâmica. Um goleiro experiente conhece as traições de uma bola com estes efeitos.

Apesar de toda a tecnologia da nova bola, reconhecemos a semelhança com sólido de Arquimedes, o tetraedro truncado, que tem exatamente oito faces planas regulares: quatro hexágono e quatro triângulos.

Planificação de um tetraedro truncado
Planificação de um tetraedro truncado
Tetraedro truncado
Tetraedro truncado. É um sólido de Arquimedes com oito faces.

Veja o vídeo da produção da bola Jabulani:

Dica de: Querido Leitor » Jabulani: a polêmica bola da copa.

UPDATE: A revista VEJA fez um infográfico que resume algumas propriedades da Jabulani.

DLMF: NIST Digital Library of Mathematical Functions

Uma referência clássica, The Library of Mathematical Functions, publicada pela primeira vez em 1964, agora online, completa e com adendos. Quem fez algum curso avançado de matemática, física ou engenharias, provavelmente já procurou alguma função, valor ou método neste livro na biblioteca. Eu tenho a versão Dover azul. Uma relíquia, mas em termos práticos, já cedeu o seu honroso lugar para as referências digitais.

plot de uma função no plano complexo com zeros

DLMF: NIST Digital Library of Mathematical Functions.