Todo ímpar maior do que 5 é uma soma de três primos

Em carta a Euler, em torno de 1742, Goldbach afirmou, em outras palavras, que todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos. Essa é a versão moderna atualmente conhecida da conjectura fraca de Goldbach.

Vamos a dois exemplos:

  • 7 = 2+2+3.
  • 27 = 3+11+13.

Observe que os números primos podem ser repetidos e que os matemáticos consideram primos os números que são divisíveis apenas por eles próprios e pelo um, sendo que o número um não é considerado número primo. 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são números primos, por exemplo.

Com um pouco de tentativa e erro a gente consegue encontrar três números primos que somam o número ímpar. Tente você outros números ímpares. É possível que existam mais de uma decomposição em três números primos, mas a conjectura afirma que existe pelo menos um trio de primos que somam cada número ímpar maior do que 5.

Essa conjectura foi estudada há 271 por vários matemáticos, mas somente agora, em Maio de 2013, o matemático peruano, que estudou nos Estados Unidos e trabalha na França, Harald Andrés Helfgott, publicou a demonstração de que a conjectura é verdadeira, para todos os números naturais ímpares maiores do que 5.

Matemático
Harald Andrés Helfgott

A conjectura já tinha sido parcialmente provada para números ímpares muito grandes.

Faz algum sentido que se o número é muito grande, é imaginável encontrar 3 números primos dentre os muitos que existem abaixo desse número grande, que satisfaçam a exigência de que a sua soma resulte nesse número grande.

Em outras palavras e com todo o rigor matemático,  em 1937, Vinogradov provou que qualquer número ímpar suficientemente grande pode ser representado como a soma de três números primos. Em 2002 Liu e Wang conseguiram fazer uma boa estimativa para esse número suficientemente grande, a saber, e300  ( o número de Euler à potência 300, ou melhor e^300). Esse número é realmente grande. Na base decimal ele tem 131 dígitos. Nem os mais rápidos computadores modernos conseguiriam verificar, por tentativa e erro, se todos os números ímpares menores do que  e300 seriam escritos como a soma de três números primos.

A bem da verdade, a computação científica tem sido usada exaustivamente para verificar, um a um, essa conjectura. Até recentemente os pesquisadores Oliveira e Silva, Herzog, e Pardi já tinham confirmado com computadores a conjectura para números com até 27 dígitos (8,37 . 10^26).  Agora o próprio Helfgott com o colega da Inglaterra, Platt, conseguiram provar, com o computador, o seguinte:

Todo número ímpar entre 7 e T, em que T = 8. 875. 694. 145. 621. 773. 516. 800. 000. 000.000 ( > 8,875 . 10^30 que tem 31 dígitos) pode ser escrito como a soma de três números primos.

Essa parte computacional está explicada em um artigo de três páginas em que os autores relatam os métodos utilizados para que a computação de mais de 40 mil horas tivesse sucesso.

Isso então complementa os resultados analíticos, sem uso do computador e sim com ferramentas matemáticas, abstratas, rigorosas e formais de que

Todo número ímpar maior do que 10^30 pode ser escrito como a soma de três números primos. 

A demonstração desse teorema acima está resumida em 133 páginas com mais de 70 referências na bibliografia.

Combinando os resultados temos agora o seguinte Teorema de Goldbach e Helfgott:

Todo número ímpar maior do que 5 é uma soma de três números primos.

Todos os detalhes estão nos artigos publicamente disponíveis:

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott  via MyArXiv

a paper on arxiv.org written by H. A. Helfgott, David J. Platt  via MyArXiv