π não é tri

Símbolo para o pi
Símbolo para o pi

O valor do número π (pi)  não é 3. Como todo número irracional, ele não pode ser escrito com um número racional da forma a/b (a dividido por b, onde a e b são naturais) e a sua representação decimal não tem fim.

No parágrafo anterior só há de negações. Então, vamos às afirmações.

π é um número irracional, transcendental que está intimamente relacionado ao círculo.

Um círculo pode ser construído com um compasso.

Um círculo por um compasso
Desenho de um círculo com um compasso

E com uma régua podemos medir a distância da circunferência ao centro (na prática é a abertura do compasso). O perímetro, isto é, o comprimento da circunferência não é imediatamente mensurável com uma régua. É preciso um instrumento que se dobre, como um cordão, e assim podemos medir o perímetro do círculo.

Um experimento que todos devem fazer em algum momento da vida (dentro ou fora da escola) é medir o perímetro e o raio e calcular a divisão do perímetro pelo diâmetro (que é o dobro do raio). E fazer esse procedimento para círculos de vários tamanhos. Seja o círculo grande ou pequeno, com perímetros e diâmetros correspondentes grandes e pequenos, a divisão do perímetro pelo diâmetro é essencialmente (sempre há algum erro nas medidas) a mesma. Com muito mais análise, a humanidade descobriu que o perímetro é proporcional ao diâmetro, e a constante de proporcionalidade é o número π.

Alguém pode dizer, “grande coisa” pois sabemos que há outras figuras planas geométricas nas quais o perímetro é proporcional ao “diâmetro”, basta tomar o cuidado de definir bem as figuras e os conceitos de perímetro e diâmetro. Mais sobre isso na tabela abaixo.

Mas porque algumas vezes considera-se π com o valor 3? É uma aproximação para fazer cálculos mentais ou estimativas grosseiras, mas tanto o valor quanto o significado são bem diferentes. Em termos relativos, o erro é próximo a 5% e assim é aceitável para algumas aplicações. Em termos conceituais, Pi é um número irracional e 3 é um número de contagem Natural.

Observe, por exemplo, um círculo de raio unitário que tem perímetro 2 π (o dobro de pi) Se a dita aproximação é usada, então o perímetro seria 6, que é congruente ao perímetro de um triângulo equilátero de lado 2.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de perímetro 6. Ambos concêntricos

Já o valor da área do círculo unitário é  π. Se a dita aproximação também é usada para a sua área, ela seria 3, que é a área equivalente à de um triângulo equilátero de lado 2,7, aproximadamente.

Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.
Círculo de raio unitário e triângulo equilátero de área 3. Ambos concêntricos.

Podemos superpor as três figuras para enfatizar que a aproximação para o número π é ambígua e depende da aplicação na qual a aproximação faz algum sentido:

π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3.
π não é 3. Observe o círculo de raio unitário, um triângulo de perímetro 6 e outro triângulo de área 3. O trio é concêntrico.

Se em algum cálculo de Matemática Aplicada o π é aproximado por 3, deve-se manter a coerência no uso dos algarismos significativos das demais grandezas ou quantidades envolvidas.

Por exemplo, considere o volume de uma gota de chuva, que tenha o formato aproximado de uma esfera. A medida feita por fotografia de alta precisão fornece o diâmetro (médio) das gotas de chuva de 1,769 mm. O volume de uma esfera de raio R é dado por 4 π R3 /3 (quatro terços de pi vezes R ao cubo). Se a aproximação grosseira de π é feita, não há razão de manter tantas casas decimais, ou melhor, não é coerente utilizar tantos dígitos significativos pois a dita aproximação para π usa apenas um dígito. Nesse caso, para manter a consistência, o raio da gota seria aproximado por 1 mm e o seu volume seria dado por 4 mm3.

Para finalizar, como prometido, nas figuras planas regulares encontramos facilmente que o diâmetro e o perímetro são proporcionais.

Definições:

  • Diâmetro é a maior distância entre dois pontos.
  • Perímetro é o comprimento total da fronteira, isto é, da curva que engloba a região (conexa) da figura (em geometria Euclideana plana).

Com as duas definições acima calculamos o diâmetro, o perímetro e a razão entre ambos para alguns polígonos regulares (de lados e ângulos congruentes).

Polígono Lado Perímetro Diâmetro Perímetro/Diâmetro
Triângulo a 3a a 3
Quadrado a 4a sqrt{2} a 2 sqrt{2} =aprox 2,82
Pentágono a 5a (1+sqrt{5})a/2 5(sqrt{5}-1)/2 =aprox 3,09
Hexágono a 6a 2a 3
Heptágono a 7a csc(π/14)a/2 14 /cosc(π/14) =aprox 3,12
Octógono a 8a csc(π/8) a 8/csc(π/8) =aprox 3,06

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