Os 300 de Euler

No dia 13 de Abril vamos comemorar o tri-centésimo aniversário de Leonhard Euler, um dos maiores gênios da Física Matemática. Graças a ele temos uma das fórmulas matemáticas mais elegantes e completas: e^{i \pi} + 1 = 0 onde os números irracionais e e \pi  se ajustam com o número complexo i para anular a unidade. A fórmula não foi tirada da cartola como num passe de mágica. É uma expressão que aparece nos estudos de funções trigonométricas, séries numéricas infinitas etc. E às vezes nem imaginamos onde são aplicadas. Uma outra fórmula que vale a pena decorar é: V + F = A + 2 Qualquer objeto fechado simples convexo com um número V de vértices, F de faces e A de arestas satisfaz a relação acima. Incrível! Por exemplo, um cubo ou um paralelepípedo tem 8 vértices, 6 faces e 12 Arestas. Verifique nos objetos ao seu redor. Destaco dois números em homenagem a Euler. Ambos podem ser calculados a partir das séries abaixo. O próprio número de Euler: e = 2+1/2+1/6+ 1/24+1/120 + = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} e a constante de Euler: \gamma= \lim_{n \rightarrow \infty} ( \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k} - \log(n) ) O valor aproximado do número de Euler é 2,718281828 e da constante de Euler é 0,5772156649. São números irracionais e como tais não têm representação decimal finita. Mas para efeitos de estimativas podem ser úteis. Como provocação, pense em três números naturais de forma que a soma de quaisquer dois sejam um quadrado perfeito. Por exemplo 4+5=9, isto é somei dois naturais e o resultado é o quadrado de um outro natural, no caso o 3. Tente colocar mais um número do conjunto para termos três naturais tais que a soma entre eles sempre dê um quadrado perfeito. Posso tentar por eliminação:

  • 4+5=9
  • 4+x=p2
  • 5+x=q2

Subtraindo as duas últimas concluímos que os quadrados q2 e p2 diferem por 1. Isto é q2-p2=1. Impossível. Devemos tentar outros naturais. Sejam 15 e 34. A soma é 49=72 . Qual seria o terceiro natural? Vamos às contas:

  • 15+x=p2
  • 34+x=q2

Portanto q2-p2=19. Por outro lado sabemos que p>3 e q>5 pois x>0. Basta tirar a raiz quadrada de 15 e 34 respectivamente. Isto nos leva à estimativa q+p>8. E como (q+p)(q-p) = q2-p2 = 19. Concluímos que q-p<19/8<2,4. Como 19 é primo, só temos uma opção: q+p=19 e q-p=1. Isto é, q=10 e p=9. E portanto x=100-34=66. Sucesso. O trio de naturais 15, 34 e 66 somados dois a dois geram os quadrados perfeitos 47, 81 e 100. Não é o único trio. Este é um exercício de Introdução à Computação tradicional. Encontrar os trios em um intervalo. Por exemplo em matlab podemos ter a seguinte função:

function eulertriplo(i0,I,J,K)
for i=i0:I
    for j=i+1:J
        c=sqrt(j+i);
        if (floor(c)-c)==0
            for k=j+1:K
                a=sqrt(k+j);
                if (floor(a)-a)==0
                    b=sqrt(k+i);
                    if (floor(b)-b)==0
                    sprintf('%s %d, %d, %d ','i, j, k = ',i,j,k)
                    sprintf('%s %d, %d, %d ','Quadrados',a^2,b^2,c^2)
                    end
                end
            end
        end
    end
end

O assunto veio à memória quando li o seguinte problema: Encontre o número natural x tal que (18530, 65570, 45986, x) forme um quarteto de Euler em que a soma dois a dois produza quadrados perfeitos. Este é o tipo do problema que Euler resolvia. Sem computador! Se você estiver na região, não perca o evento desta Sexta-feira 13 de Abril/2007 no IMECC – UNICAMP em comemoração aos 300 anos do nascimento de Leonhard Euler.

2 opiniões sobre “Os 300 de Euler”

  1. Oi!
    eu queria muito a ajuda de alguém!
    Sou estudante e estou do 5º período de matemática! Minha monografia será sobre o número de Euler.
    tenho pesquisado e estou vendo que é muito complexo, porém um assunto muito interessante…
    Queria saber se alguém poderia me ajudar de alguma forma…
    Meu e-mail está aqui e se eu puder ajudar alguém também, estarei sempre a disposição!

  2. Olá bom dia,

    Estou no 4° ano do curso de matemática e o tema da minha monografia é o número “e”, gostaria de contar com a ajuda de vocês, pois estou com algumas dificuldades para continuar minha pesquisa.
    Aguardo retorno.
    Muito obrigado,

    Angela

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