Irracionais e transcendentais: π & e

Todos sabem que a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo é um irracional. Uma estimativa grosseira mas pedagógica é experimentar com um fio ou barbante e uma régua. Use o fio do mouse, por exemplo. Faça o círculo, meça o diâmetro, desfaça o círculo e meça o comprimento. A divisão das duas medidas vai ser um valor um pouco maior que 3. Um valor mais preciso é

π ~ 3,14159265358979

Espero que o seu navegador esteja mostrando o pi com o símbolo correto, π. Por via das dúvidas pi=π.
Usamos dois comprimentos. O do entorno do círculo e o do segmento de reta (de comprimento extremo) que divide a figura em dois semi-círculos iguais.

Imagine um triângulo de lados iguais. Podemos calcular os dois comprimentos equivalentes. O perímetro (soma dos comprimentos dos lados) do triângulo e a sua altura, que é o menor segmento de reta que divide o triângulo em duas figuras semelhantes. Use 3 palitos ou 3 canetas iguais, meça com uma régua e calcule a divisão entre o perímetro e a altura. Você vai obter algo um pouco maior que 3. O valor mais preciso é 3,46410161513775.

A divisão do perímetro de um quadrado por sua diagonal, que é o maior segmento de reta que divide o quadrado em duas figuras semelhantes também é irracional. Use uma régua e experimente. Você vai obter um número um pouco menor que 3. O valor mais preciso é 2,82842712474619.

A experimentação pode continuar com pentágonos, hexágonos etc mas para os nossos propósitos, paramos aqui. Os três exemplos acima são dos seguintes números irracionais:

\pi,\, 2\sqrt{2},\,2\sqrt{3}

Por que pi seria diferente dos demais irracionais? Por que ele não é uma solução de uma equação polinomial com coeficientes racionais. Os matemáticos dizem que é transcendental. Assim, pi transcende a classe dos números algébricos. Não tem metafísica (ou tem?).
O objetivo deste artigo era o de divulgar a demonstração de que pi é transcendental. Vale a pena estudar. Envolve um pouco de cálculo diferencial e integral. Veja o Mathematics Weblog ou diretamente o arquivo em pdf. Ao demonstrar que pi é transcendental, fica fácil mostrar que o número e~2.71828182845905 também é.

Terminamos com uma desigualdade interessante:

e^{\pi}  \ge \pi^{e}

Com os recursos computacionais à mão podemos ver a desigualdade com o gráfico da função ln(x)/x. Isto foi apresentado no Jornal do Professor de Matemática (pdf, 654 kb).

Já se conhece o valor de pi com trilhões de casas decimais. Um japonês recitou 100 mil dígitos de cabeça! Apesar de todo este conhecimento, não se sabe se os dígitos de pi são uniformemente distribuídos, isto é, se a freqüência com que cada dígito de 0 a 9 aparece é exatamente 1/10.

Para ler mais sobre os cálculos computacionais de pi, navegue o PiFast site.