Cobrimento de uma superfície

Como cobrir uma esfera com as seguintes exigências: Pouca distorção e pouca costura. A bola oficial para a copa de 2006 usa 14 painéis com contornos curvos. Veja a figura ao lado. Há 6 figuras tipo 8 coladas ou costuradas com outras 8 figuras complementares.

A bola oficial em outros campeonatos tem 32 painéis: 12 pentágonos (painéis pretos na ilustração), 20 hexágonos, costurados nas 90 arestas, e 60 nós (ou vértices). É um icosaedro truncado. No entanto, ambas as bolas continuam tendo nós onde 3 arestas terminam.
Tudo isto nos lembra dos sólidos de Platão que têm superfícies fechadas por polígonos regulares e congruentes e tais que o mesmo número de faces se encontram em cada vértice. O cubo é o exemplo mais conhecido (6 quadrados, 12 arestas e 8 vértices). Para a superfície do sólido se aproximar à de uma esfera, o ideal é ter painéis pequenos. Mas isto implica muitos painéis e costuras.
O novo modelo de bola da Adidas tem outras características de alta tecnologia. Mas em termos apenas de faces e vértices contamos 14 faces, 36 costuras e 24 nós. Um dos sólidos de Arquimedes de características parecidas, o octaedro truncado que tem 6 quadrados e 8 hexágonos. Veja figura verde.

Veja a história da bola de futebol (in English), os sólidos de Platão e de Arquimedes.