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Padrões, Simetrias, Regularidades: Coincidências?

Ao colocar as minhas leituras em dia, encontrei dois trabalhos que têm aspectos matemáticos em comum:

O trabalho publicado na Nature trata de um grupo de galáxias menores que orbitam a nossa vizinha galáxia Andromeda.

Andromeda
Andrômeda

O segundo trabalho publicado na PRL trata do tamanho das folhas de árvores altas.

Tamanho das folhas de árvores altas
Folhas de árvores altas

Em ambos os trabalhos, os pesquisadores perceberam alguns padrões numéricos.

No trabalho de Astronomia os pesquisadores perceberam um subconjunto das galáxias satélites que apresentam os mesmo sentido de rotação que a galáxia central à Andrômeda. Essa percepção não foi visual e sim obtida após um tratamento numérico dos dados observados. Quem desenvolveu ou rodou os programas de computadores para chegar a essa conclusão tem apenas 15 anos e ainda está no Ensino Médio – ele é filho do autor principal, Rodrigo Ibata.

No trabalho de Física Matemática aplicada à Botânica, os pesquisadores perceberam que os tamanhos das folhas de árvores menores variam bem menos do que os de árvores mais altas.  A partir dessas observações de correlação de tamanho de folhas e alturas de árvores, os físicos desenvolveram um modelo Físico Matemático que explica razoavelmente bem a limitação observada no tamanho das folhas.

Moral da história: esses padrões numéricos observados levaram a novos entendimentos nos seus respectivos campos. Não foram apenas coincidências.

As chances do Fluminense, Corinthias e Cruzeiro

Em poucas horas o campeonato brasileiro de futebol vai terminar consagrando um campeão, pelo sistema de soma de pontos corridos: Uma vitória são três pontos, um empate é um ponto e uma derrota zero pontos.

Os três times com chances de vencer o campeonato têm o mesmo número de vitórias, mas diferem no número de empates e derrotas. Por este motivo Fluminense tem 68 pontos enquanto Corinthias e Cruzeiro têm 67 e 66 pontos respectivamente.

Quais são as chances do Fluminense ser campeão? E do Corinthias e Cruzerio?

A gente pode fazer esta conta com algumas hipóteses simples, usando interpretação frequentista da probabilidade, com base na estatística destes times no campeonato.

Fluminense: Foram 37 jogos e 19 vitórias. Assim, a probabilidade de vitória dos três times é igual a 19/37 e a probabilidade de não vencer (empatar ou perder) é o complementar 18/37.

Assim o Fluminense pode ser campeão se:

  1. o Flu vencer o Guarani, independentemente dos outros resultados;
  2. o Flu empatar e os dois outros times não vencerem;
  3. o Flu e o Corinthias perderem e o Cruzeiro não vencer.

E vamos somar estas probabilidades sem considerar as probabilidades dos times contra os quais cada candidato vai jogar hoje.

Assim a probabilidade do Fluminense ganhar o Brasileirão 2010 é

19/37+(11/37)(18/37)(18/37)+(7/37)(8/37)(18/37)

que é aproximadamente 60%. Podemos dizer que em cinco campeonatos que terminem com estas condições, o Fluminense seria campão três vezes.

O Corinthias pode ser campeão se:

  1. o Corinthias  vencer o Goiás e o Flu não vencer o Guarani independente do resultado do Cruzeiro;
  2. o Corinthias empatar, o Flu perder e o Cruzeiro não vencer;

Assim a probabilidade do Corinthias ser campeão é:

(19/37)(18/37)+(10/37)(7/37)(18/37)

que é aproximadamente 27%

Para completar os 100%, as chances do Cruzeiro são 13%.

Nestas estimativas, não consideramos diferenças dos adversários em campo. Isto é, Guarani, Goiás e Palmeiras teriam performances similares às anteriores ao longo do campeonato. Não consideramos tão pouco, um caso de empate de pontos, pois teríamos que considerar os critérios de desempate.

Enfim. Agora vou torcer ou sofrer para que o Flu seja campeão novamente.

UPDATE: O FLUMINENSE É CAMPEÃO BRASILEIRO 2010!

Dois prêmios de matemática, duas medidas.

John Tate, prêmio Abel de 2010
John Tate, prêmio Abel de 2010

O prêmio Abel de matemática de 2010 vai para John T. Tate, em reconhecimento a sua enorme e duradoura contribuição para a teoria dos números.

Tive a oportunidade de assistir alguns de seus seminários na University of Texas at Austin. Os departamentos de Física, Matemática e Astronomia compartilhavam o mesmo edifício e por causa disto eu via o prof. Tate com certa freqüência, pelos corredores e elevadores e sempre me parecia cordial e simpático.

O outro prêmio anunciado neste mês é o do Milenium, oferecido a Grigoriy Perelman pelo Instituto Clay por ter resolvido um dos grandes problemas do milênio, a saber, a conjectura de Poincaré. No entanto o Perelman recusou, mais uma vez, o prêmio. Não há justificativas racionais para a atitude anti-social deste matemático brilhante. Há quem diga que bastaria uma psicoterapia para permitir o convívio social de Perelman. Imaginem a quantidade de pessoas, entidades filantrópicas (ou não) que gostariam de receber um milhão de dólares. Ouvi dizer que o Partido Comunista pediu ao Perelman que recebesse o dinheiro e doasse ao PC, mas pode ser apenas boato.

Grigoriy Perelman recusou dois prêmios de matemática
Grigoriy Perelman recusou dois prêmios de matemática

Coincidência ou não, estes dois prêmios anunciados reconhecem o trabalho de dois gênios da matemática moderna que têm personalidades e valores culturais muito distintos um do outro.

E antes que façam a correlação qualquer correlação entre genialidade e excentricidade, eu acho que o Perelman é um gênio na matemática APESAR dos seus distúrbios psico-sociais.

Gödel: auto-suficiente e coerente?

Incompletude
Incompletude

Recebi um presente da Companhia das Letras. O recém traduzido Incompletude – A prova e o paradoxo de Kurt Gödel da escritora Rebecca Goldstein.

Eu tinha a intenção de ler o livro, pequeno com pouco mais de 200 páginas, durante as longas horas que passaria sentado em uma viagem. Não consegui! Mesmo sendo uma biografia, os primeiros capítulos tocam em linhas filosóficas, como positivismo, platonismo, objetivismo, racionalismo etc, e a autora tem a capacidade de fazer sínteses muito provocativas. Com certa freqüência eu parava de ler para filosofar. Precisei de outra viagem (literalmente) para terminar de ler o livro.

O livro não é sobre filosofia nem lógica e sim sobre o Kurt Gödel, um matemático platônico que gostava dos seus fundamentos lógicos. Goldstein relata, com leveza, alguns detelhes da vida de Gödel, as suas complicações, os seus princípios. Não por acaso Gödel esteve rodeado, desde o tempo de Viena até Princeton por ilustres pensadores, matemáticos e físicos. Aliás, desde que chegou a Princeton, Gödel e Einstein conversaram quase diariamente.

Os teoremas que Gödel formulou e provou são apresentados em poucas palavras. Obviamente a autora não reproduz as demonstrações, mas discute em linguagem leiga algumas de suas implicações, no entanto as interpretações e generalizações geram polêmicas. Os capítulos 3 e 4 estão muito bem equilibrados em termos de conteúdo, curiosidades, segmentação em seções etc. Leia e tire suas conclusões.

Um relato simples, mas representativo do livro e de Gödel, é o seguinte.

Gödel voltou a Viena em plena guerra. O nazismo e o caos rondavam a todos e em todo o lugar em 1939. Quando perguntado o que ele tinha visto na viagem à Europa, respondeu: “O café está horrível”.

Não é de se admirar de um lógico que mostrou que um sistema formal não pode ser ao mesmo tempo completo e consistente.

O Incompletude – A prova e o paradoxo de Kurt Gödel levou-me de volta ao clássico Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de gênios brilhantes.

Leia mais na internet:

Números primos descobertos

Em 2008 dois números primos enormes foram descobertos com a ajuda de computadores. Ah sim, um número primo é indivisível no sentido que não tem nenhum número natural que o divida sem deixar resto exceto ele mesmo ou o um.

primos de mersene

Os novos números primos descobertos neste ano têm a forma 2p – 1,  (dois elevado à potência p menos um) onde  p é um número primo e são conhecidos por primos de Mersenne, em homenagem ao matemático que estudou estes números inicialmente. É bom ressaltar que nem todo número desta forma é primo e nem todo primo tem esta forma.

Bem, os números primos são

237156667 – 1 e 243112609 – 1,

descobertos (confirmados) no dia 06 de Setembro e 23 de Agosto de 2008 respectivamente. Não tente escrever estes números em sua calculadora pois eles têm mais de dez milhões de dígitos! O primeiro acima tem 11,185,272 e o segundo 12,978,189 dígitos.

Aliás, a descoberta do primeiro número primo com mais de 10 milhões de dígitos vai receber o prometido prêmio de US$ 100000 (cem mil dólares) da Electronic Frontier Foundation. Read more at Mersenn Prime Search. Aprenda a matemática dos números de Mersenne.

Problemas, análise e soluçoes. Com humor.

O vídeo do YouTube abaixo mostra um diálogo e uma música de um par de humoristas, Flight of the Conchords . Vale a pena ouvir (in English, sorry!).

Há dois trechos que interessam a um professor de matemática e que podem ser utilizados na suas aulas.

O primeiro faz referência a uma seqüência geométrica. Sem querer explicar a piada, mas sim para o benefício de quem não ouviu ou não entendeu o inglês, eu conto o contexto. Eles jogam com os tamanhos das crianças em relação aos adultos. A razão entre os tamanhos é menor que um.

Vai assim: Um dos humorista estava preocupado com o futuro de seus filhos, e dos filhos de seus filhos, e dos filhos de seus filhos de seus de seus filhos e assim por diante. Mas os filhos do humorista seriam menores do que ele, chama a atenção ou outro humorista. Então os filhos dos filhos seriam ainda menores, e nesta seqüencia geométrica as gerações posteriores seriam cada vez menores.

A segunda referência usa a ambigüidade dos termos reais e complexos. Os filhos são imaginários. A mulher é linda, mas não é real, é complexa.

Rir do humor inteligente, é o melhor remédio para um dia nublado e frio.

Olimpíadas e Desafios na Escola

Quem não viu, pode ver e se emocionar. Quem viu, pode rever e se emocionar.

Ricardo Oliveira da Silva mora em Várzea Alegre, no Ceará. Ele é paraplégico, mas superou muitas dificuldades e conseguiu ser bicampeão na Olimpíada Nacional de Matemática. Vejam a matéria do Fantástico:

Sabemos que o sucesso em qualquer empreendimento difícil envolve, em média:

  • 70% de transpiração
  • 29% de apoio e formação
  • 1% de inspiração

As iniciativas do tipo Olimpíadas são estimulantes para o ambiente escolar.

Na mesma direção, temos o projeto do Grande Desafio:

O Grande Desafio é uma atividade da Oficina Desafio, formulada por uma equipe de cientistas e educadores da Unicamp através do Museu Exploratório de Ciências. Nosso objetivo é incentivar os participantes a colocarem em prática, de maneira lúdica, conhecimentos apreendidos na escola e no cotidiano, visando o crescimento pessoal e intelectual dos mesmos.

Os jovens desafiados devem trabalhar em equipes, por um período de meses, projetando, construindo e operando um equipamento que possa realizar o desfio proposto.

As soluções são abertas, portanto, as equipes podem, e devem, criar à vontade. Cada equipe deverá ter entre dois e seis participantes que podem ser estudantes de qualquer série, escola ou cidade do país.

Os vencedores do último Grande Desafio deram nome a um asteróide, agora chamado Ourinhos. Vejam matéria no portal da prefeitura da cidade.

vencedores do grande desafio 2007

O nosso sistema de ensino não é bom em média, mas há vários exemplos de superação e vitória tanto entre alunos quanto professores.

Nobel de Economia 2007: Planejamento de Algoritmos, Estratégias e Regras

O prêmio Nobel de Economia de 2007 foi dado a Leonid Hurwicz, Eric Maskin e Roger Myerson que estabeleceram a Mechanism Design Theory (MDT), isto é, eles fundaram as bases teóricas para o planejamento de algoritmos, estratégias ou regras de um procedimento (jogo) em que o resultado, otimizado ou maximizado, seja pré-estabelecido independente dos participantes (jogadores) ou da disputa.

Uma nota histórica. O prêmio Nobel estabelecido em 1895 pelo inventor da dinamite não contemplava economia nem matemática. Mas em 1968 a Kungliga Vetenskapsakademien (Real Academia Sueca de Ciências) criou o Prêmio Sveriges Riksbank em Ciências Econômicas em memória de Alfred Nobel. Pode parecer irônico que os três contemplados de 2007 sejam matemáticos, algo que não estava nos desejos de Alfred por razões passionais.

Um exemplo simples de aplicação da MDT é o seguinte. Você precisa dividir um bolo entre duas pessoas. O resultado que lhe interessa é que elas fiquem satisfeitas, ou mais honestamente, que nenhuma delas reclame para você. O procedimento para tanto é simples: Uma corta e a outra escolhe. Esta regra pode ser aplicada em várias disputas, por exemplo: Herança entre dois herdeiros, cartas inicias de um jogo de baralho, tarefas entre dois subalternos etc.

A MDT faz parte dos cursos de micro-economia e teoria dos jogos e tem muitas aplicações no sistema financeiro, em leilões, pregões, nos estudos de mudanças climáticas, em computação paralela e na internet.

Um outro exemplo muito legal envolve um leilão. Há quatro tipos de leilão:

  1. O Inglês é o tradicional, quem dá mais, quem dá mais até sobrar um que arremeta a peça.
  2. O Holandês é o oposto. Começa com um preço alto e vai abaixando até alguém bancar o valor.
  3. O da proposta selada. Todos os interessados escrevem e entregam suas propostas em envelopes fechados. Ao final, abrem-se os envelopes e a maior oferta arremata a peça e paga o valor proposto.
  4. O da segunda maior proposta. Igual tipo 3 acima exceto que o valor pago é o segundo maior valor proposto por outra pessoa.

auctionO tipo 4 acima valoriza a “honestidade” entre os participantes, pois se um comprador considera que a peça vale X não haveria vantagem nem desvantagem em propor um valor maior ou menor do que X, respectivamente, para arrematar a peça.

Para ser concreto, considere um bom carro em leilão. Um interessado Tiago avalia que o carro vale, para as condições dele, R$ 10 mil. Um concorrente André também está no leilão. Vamos analisar algumas possibilidades:

  • Tiago oferece R$ 20 mil e André oferece R$ 15 mil. Resultado: Tiago ganha o carro mas pagaria R$ 5 mil a mais do valia.
  • Tiago oferece R$ 5 mil e André oferece R$ 15 mil. Resultado: André ganha o carro e pagaria R$ 5 mil a menos do valia.

A proposta optimizada para Tiago é oferecer os R$ 10 mil que ele mesmo avalia correto.

couplesPara terminar vamos analisar a estratégia para casamentos estáveis. Vamos simplificar um pouco obviamente. Considere um grupo de 10 moças e 10 rapazes em uma ilha, prontos e interessados em se casar. O ancião da ilha, para evitar disputas e brigas animalescas estabelece a seguinte regra:

Cada rapaz atribui em sigilo uma única nota de 1 a 10 às moças. Igualmente, as moças atribuem notas aos rapazes. O ancião permite o primeiro rapaz a se oferecer a alguma moça. Inicialmente a moça vai aceitar o primeiro proponente. Mas ela tem o direito de trocar se aparecer alguém com nota superior. E assim, o ancião vai liberando todos os rapazes para as proposta. Se surgir um novo solteiro porque a moça teve proposta melhor ele volta pra fila e vai ter outra chance. Depois de algumas iterações a configuração de casais estabelecida é a melhor possível. E eles vão viver felizes até que a MDT os separe.

microeconomic theoryspace

No sistema financeiro a MDT é usada para evitar preços abusivos de monopólios, para privatizar estatais, para pregões de compras do governo etc. Na internet, a distribuição de tarefas entre servidores também se utiliza de algumas soluções demonstradas pela MDT.

Nem sempre conseguimos colocar alguns problemas em forma tratável pela MDT. Há várias estratégias para alguns problemas e há teoremas de impossibilidades para alguns resultados. Os estudos de incentivo, da assimetria de informações entre comprador e vendedor e a MDT são muito importantes para as finanças públicas responsáveis. O assunto é fascinante. Read more at Guardian Unlimeted.

MMVII. Feliz 2007!

Feliz 2007 ou MMVII em algarismos romanos!

É um ano comum (não bissexto), começando numa Segunda-feira no calendário Gregoriano. A cada 400 anos os dias da semana se repetem por conta das regras dos anos bissextos: múltiplos de 4 a menos que seja múltiplo de 100 mas não de 400. Em termos numéricos escrevemos:

365+1/4 -1/100+1/400 = 365,2425. Este é aproximadamente o tempo, em dias, para darmos uma volta completa em torno do Sol.
Iniciar o ano numa Segunda-feira ou no Sábado é um pouquinho mais raro do que em outros dias da semana. Para ser exato em 400 anos temos a seguinte distribuição:

  • Domingo: 58
  • Segunda: 56
  • Terça: 58
  • Quarta: 57
  • Quinta: 57
  • Sexta: 58
  • Sábado: 56

A quantidade de anos que começam em um dia dado da semana pode ser obtida no Matlab assim:

>Dia1Jan=zeros(7,1); %% prepara uma matriz coluna
>for Ano=1800:2200; %% qualquer intervalo de 400 anos a partir de 1583
> DiaSemana= weekday(strcat(months(1,:),'-1-',num2str(Ano)));
> Dia1Jan(DiaSemana)=Dia1Jan(DiaSemana)+1;
>end
>Dia1Jan %% mostra o resultado.

Contagem similar pode ser feita com o Mathematica. Veja o artigo em que mostra a maior freqüência de Sexta-feira 13.

Gabriel1ano

O número 2007 não é primo. 2007=3×669. Enfim. Não há nada de espetacular a priori com o ano de 2007 mas teremos 365 dias, isto e’, um pouco mais de 52 semanas, 12 meses ou quatro estações para aprender algo mais sobre o Universo que nos cerca. Sejamos como o Gabriel, 15 meses, que está naquela fase de descobertas fascinantes. Sejamos curiosos! Feliz 2007!